已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
un
un-1
．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求出un=（n+1）an．再應(yīng)用數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）求出
un
un-1
的表達(dá)式，對(duì)a，b的大小分類(lèi)討論，求出數(shù)列的極限．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，un=（n+1）an．這時(shí)數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+（n+1）an． ①
①式兩邊同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+（n+1）an+1②
①式減去②式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3++an-（n+1）an+1
若a≠1，（1-a）Sn=
a(1-an)
1-a
-（n+1）an+1+a，
Sn=
a(1-an)
(1-a)2
+
a-(n+1)an+1
1-a
=
(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a
(1-a)2

若a=1，Sn=2+3++n+（n+1）=
n(n+3)
2
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)a=b時(shí)，un=（n+1）an，
則
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
(n+1)an
nan-1
=
lim
n→∞
a(n+1)
n
=a．
當(dāng)a≠b時(shí)，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
b
a
+(
b
a
)2+(
b
a
)n]=an
1-(
b
a
)n+1
1-
b
a
=
1
a-b
（an+1-bn+1）
此時(shí)，
un
un-1
=
an+1-bn+1
an-bn
．
若a＞b＞0，
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
an+1-bn+1
an-bn
=
lim
n→∞
a-b(
b
a
)n
1-(
b
a
)n
=a．
若b＞a＞0，
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
a(
a
b
)n-b
(
a
b
)n-1
=b．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列求和的重要方法：錯(cuò)位相減法，分類(lèi)討論的思想，極限的求法，高考常考題型．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）求數(shù)學(xué)公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：天津 題型：解答題

已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
un
un-1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知un=an+an-1b+an-2bn+…+abn-1+bn(n∈N*,a＞0,b＞0).

(1)當(dāng)a=b時(shí),求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn;

(2)求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2005年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）求．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案