Question

【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，，，且，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接AE,EG，根據直線的垂直關系可得平面及平面，結合所給邊長及平行關系可知四邊形是菱形，進而得到，在正方形中平面。

（2）建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，求得平面的法向量及平面的法向量，即可利用向量的數量積關系求得二面角的余弦值。

(1)證明：連接，

因為兩兩垂直，所以平面

因為，所以，又，所以平面

所以，又因為，所以四邊形是菱形，所以

易知四邊形是平行四邊形，所以

在正方形中，，故

又，所以平面

（2）由（1）知兩兩互相垂直，故以為坐標原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，則，，

設為平面的法向量，

則

令，則，，所以

又因為平面，所以為平面的一個法向量

由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.