在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面給出四個命題：
①（
A1A
+
A1D1
+
A1B1
）2=3（
A1B1
）2
②
A1C
•（
A1B1
-
A1A
）=0．
③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角為60°
④此正方體體積為：|
AB
•
AA1
•
AD
|
其中正確的命題序號是
①②③
①②③
．
分析：①根據(jù)
A1A
+
A1D1
+
A1B1
=
A1C
，可得結(jié)論；
②
A1C
•（
A1B1
-
A1A
）=（
A1B
+
BC
）•
AB1
=0；
③△AD1C是正三角形，所以向量
AD1
與向量
D1C
的夾角為60°，根據(jù)
D1C
∥
A1B
，可得結(jié)論；
④正方體體積為：||
AB
||
AA1
||
AD
|．
解答：解：①∵
A1A
+
A1D1
+
A1B1
=
A1C
，∴（
A1A
+
A1D1
+
A1B1
）2=3（
A1B1
）2，即①正確；
②
A1C
•（
A1B1
-
A1A
）=（
A1B
+
BC
）•
AB1
=0，即②正確；
③∵△AD1C是正三角形，∴向量
AD1
與向量
D1C
的夾角為60°
∵
D1C
∥
A1B

∴向量
AD1
與向量
A1B
的夾角為60°，即③正確；
④正方體體積為：||
AB
||
AA1
||
AD
|，即④不正確．
故答案為①②③．
點評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F，則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上結(jié)論正確的為
①③④
．（寫出所有正確結(jié)論的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為D′C′的中點，則二面角E-AB-C的大小為
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是AB′，BC′的中點． 
（1）若M為BB′的中點，證明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求異面直線EF與AD′所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在正方體ABCD-A  1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，則：
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E有可能是菱形；
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正確結(jié)論的序號是
 
．

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