Question

1．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=BC，AD的延長線與BC的延長線交于點P．
（1）求證：$\frac{BC}{BP}$=$\frac{DC}{DP}$；
（2）求證：∠BDC+$\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

Answer 1

分析 （1）利用“兩角法”推知△ABP∽△CDP，在根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例和已知條件AB=BC證得結論；
（2）連接BD，AC，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)推知∠BDC=∠BDA，所以∠ADC=2∠BDC．根據(jù)鄰補角的定義推知∠PDC+∠ADC=180°，易證$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

解答 證明：（1）因為∠PDC=∠PBA，∠APB=∠CPD，
所以△ABP∽△CDP，
所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$．
又AB=BC，
所以$\frac{BC}{BP}=\frac{DC}{DP}$．
（2）連接BD，AC，
因為AB=BC，
所以∠BAC=∠BCA，
又∠BAC=∠BDC，∠BCA=∠BDA，
所以∠BDC=∠BDA，
所以∠ADC=2∠BDC．
因為∠PDC+∠ADC=180°，
所以$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．考查學生們的分析能力，屬于基礎題型．