Question

設圓C與兩圓（x+

3

）²+y²=1，（x-

3

）²+y²=1中的一個內切，另一個外切．
（1）求圓心C的軌跡L的方程
（2）求直線y=x+1被軌跡L截得的弦長．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F₁的距離加2與圓心C到圓心F₂的距離減1或圓心C到圓心F₁的距離減1與圓心C到圓心F₂的距離加1，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)2，且小于兩圓心的距離2

3

，可知圓心C的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；
（2）聯(lián)立軌跡L方程與直線y=x+1，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出x₁+x₂與x₁x₂的值，利用兩點間的距離公式求出直線y=x+1被軌跡L截得的弦長即可．

解答： 解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0），
由題意得：|CF₁|+1=|CF₂|-1或|CF₂|+1=|CF₁|-1，
∴||CF₂|-|CF₁||=2=2a＜|F₁F₂|=2

3

=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸為2，焦距為2

3

的雙曲線，
∴a=1，c=

3

，則b²=c²-a²=2，
則圓心C的軌跡L的方程為x²-

y2

4

=1；
（2）聯(lián)立得：

x2- y2 4 =1 y=x+1

，
消去y得：x²-

(x+1)2

4

=1，即3x²+2x-5=0，
設方程的兩根分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

2

3

，x₁x₂=-

5

3

，
則直線y=x+1被軌跡L截得的弦長為

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 2

3

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，曲線的軌跡方程，韋達定理，兩點間的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．