Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為正三角形，側面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中點，F(xiàn)是棱CC₁上的點．
（Ⅰ）當V_E-ABF=

3

3

時，求正方形AA₁C₁C的邊長；
（Ⅱ）當A₁F+FB最小時，求證：AE⊥平面A₁FB．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：對于（Ⅰ）轉換三棱錐的底，V_E-ABF=V_F-ABE，根據(jù)條件公式求出棱柱的棱長
對于（Ⅱ），將側面BCC₁B₁沿棱CC'展開到與側面A₁ACC₁共面，得到矩形ABB₁A₁，再確定A₁F+FB最小時F點的位置

解答： 解：（Ⅰ）設正方形AA₁C₁C的邊長為x，由于E是A₁B的中點，△EAB的面積為定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，
∴點F到平面EAB的距離為定值，即為點C到平面平面AA₁B的距離
又V_E-ABF=V_F-ABE，且VF-ABE=

1

3

S△ABE•h=

3

3

即

1

3

•

1

2

•x•

x

2

•

3

2

x=

3

3

，
∴x³=8，x=2
（Ⅱ）解法一：將側面BCC₁B₁展開到側面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結A₁B，交C₁C于點F，此時點F使得A₁F+BF最�。�此時FC平行且等于A₁A的一半，
∴F為C₁C的中點．
取AB中點O，連接OE，EF，OC，
∴OEFC為平行四邊形，
∵△ABC為正三角形，
∴OC⊥AB，又AA₁⊥平面ABC，
∴OC⊥AA₁，且AB∩AA₁=A，
∴OC⊥平面A₁AB，
∵AE?平面A₁AB，
∴OC⊥AE，又EF∥OC，
∴AE⊥EF
由于E是A₁B的中點，所以AE⊥A₁B，又A₁B∩EF=E，
所以直線AE與平面A₁FB垂直

解法二：將側面BCC₁B₁展開到側面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結A₁B，交C₁C于點F，此時點F使得A₁F+BF最�。�此時FC平行且等于A₁A的一半，
∴F為C₁C的中點．
過點E作EG∥A₁F交BF于G，則G是BF的中點，EG=

1

2

A1F=

5

2

．
過點G作GH⊥BC，交BC于H，則GH=

1

2

FC=

1

2

．  
又AH=

3

，于是在Rt△AGH中，AG=

AH2+GH2

=

13

2

；
在Rt△ABA₁中，AE=

2

．
在△AEG中，AE²+GE²=AG²，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥A₁F．
由于E是A₁B的中點，所以AE⊥A₁B，
又A₁B∩A₁F=E，
所以直線AE與平面A₁FB垂直

點評：本題考查了錐體 的體積，線段的長度以及線面垂直的判定與性質屬于中高檔題