Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，左準線方程為x=-4．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）已知過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上一點（x₀，y₀）作橢圓的切線，切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．現(xiàn)過橢圓M的右焦點作斜率不為0的直線l于橢圓交于A，B兩點，過A，B分別作橢圓的切線l₁，l₂．
①證明：l₁，l₂的交點P在一條定直線上；
②求△ABP面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，左準線方程為x=-4，建立方程組，求出幾何量，即可求出橢圓M的標準方程；
（2）①設(shè)直線AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則兩切線方程為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，可得交點P的縱坐標，進而求出P的橫坐標，即可得出結(jié)論；
②直線AB：x=my+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，利用韋達定理，求出弦長|AB|，求出P（4，-3m）到直線AB的距離，可得△ABP面積，換元，即可求出△ABP面積的最小值．

解答： （1）解：∵橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，左準線方程為x=-4，
∴

c a = 1 2 a2 c =4

，∴a=2，c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓M的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）①證明：設(shè)直線AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則兩切線方程為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，
可得交點P的縱坐標為y=

3(x2-x1)

x2y1-x1y2

=

3(my2-my1)

(my2+1)y1-(my1+1)y2

=-3m，
上式作差可得

mx

4

+

y

3

=0，
y=-3m代入，可得x=-4，
∴l(xiāng)₁，l₂的交點P在一條定直線x=-4上；
②解：P（4，-3m）到直線AB的距離d=

|-3m2-4+1|

1+m2

，
直線AB：x=my+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=

9

3m2+4

，
∴|AB|=

1+m2

•|y₁-y₂|=

12(m2+1)

3m2+4

∴△ABP面積為S=

1

2

|AB|d=

18( m2+1 )3

3(m2+1)+1

，
設(shè)t=

m2+1

≥1，則S=

18t3

3t2+1

=

18

3 t + 1 t3

，
令u=

1

t

∈（0，1]，則S=

18

3u+u3

，在u∈（0，1]上單調(diào)遞減，
∴當u=1，則t=1，即m=0時，△ABP面積的最小值為

9

2

．

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，難度大．