Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=4a_n-68n，求b_n的最小值及此時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1，代入計(jì)算，可得a₂，a₃，a₄的值；
（2）由已知遞推公式可利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）將{a_n}的通項(xiàng)公式代入，利用配方法，可求b_n的最小值及此時(shí)n的值．

解答： 解：（1）∵a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1，
∴a₂=4，a₃=8，a₄=13；
（2）∵a_n+1-a_n=n+2
∴a₂-a₁=1+2
a₃-a₂=2+2
…
a_n-a_n-1=（n-1）+2
以上n-1個(gè)式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）+2n-2=

n2+3n-2

2

；
（3）b_n=4a_n-68n=2（n²+3n-2）-68n=2（n-

31

2

）²-

953

2

，
∴n=15或16時(shí)，b_n的最小值為-484．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法，考查配方法的應(yīng)用，屬于中檔題．