Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面AEC．
（2）求異面直線BC₁與AC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明．
（2）連結(jié)AD₁、CD₁，可證出四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，得BC₁∥AD₁，得∠D₁AC（或補(bǔ)角）就是異面直線AC與BC₁所成角．等邊△AD₁C中求出∠D₁AC=60°，即得異面直線AC與BC₁所成角的大小．

解答： 解：（1）連結(jié)BD交AC于O，則O為BD的中點(diǎn)，
連EO，因?yàn)镋是DD₁的中點(diǎn)，所以EO∥BD₁，
又EO?面AEC，BD₁?面AEC，
所以BD₁∥平面AEC．
（2）連結(jié)AD₁、CD₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB

∥

.

C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，得BC₁∥AD₁，
由此可得∠D₁AC（或補(bǔ)角）就是異面直線AC與BC₁所成角．
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴∠D₁AC=60°，即異面直線AC與BC₁所成角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中證明線面垂直，線面平行并求異面直線所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．