Question

6．若關(guān)于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為空集，則實(shí)數(shù)m的取值為m≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，可轉(zhuǎn)化成不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式可得結(jié)論．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，
∴不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①當(dāng)m-1=0時(shí)，（m-1）x²-mx+m-1≤0，即x≥0，不是對(duì)任意x∈R恒成立；
②當(dāng)m-1≠0時(shí)，?x∈R，使（m-1）x²-mx+m-1≤0，
即m-1＜0且△=（-m）²-4（m-1）（m-1）≤0，
解得m≤$\frac{2}{3}$
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤$\frac{2}{3}$．
故答案為m≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即根據(jù)二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向和判別式的符號(hào)，列出等價(jià)條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題．