Question

11．（1）設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在區(qū)間[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，可求得f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，可證得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）依題意，可求得當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在區(qū)間[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min，從而可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）∵1≤x≤2，
∴0≤log₄x≤$\frac{1}{2}$，
又f（x）=（log₄x-3）•log₄4x=（log₄x-3）•（1+log₄x）=${{log}_{4}}^{2}x$-2log₄x-3=（log₄x-1）²-4，
∴當(dāng)x=2，log₄x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值，為f（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴f（x）＞m在區(qū)間[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．