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14.已知tanα=13,cosβ=55,且0<α<\frac{π}{2},\frac{3π}{2}<β<2π,則α+β=\frac{7π}{4}

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα,可得tanα 的值,利用兩角和的正切公式計算tan(α+β)=1,再由α+β的范圍求出α+β 的值.

解答 解:∵0<α<\frac{π}{2},\frac{3π}{2}<β<2π,
\frac{3π}{2}<α+β<\frac{5π}{2},
∵cosβ=\frac{\sqrt{5}}{5}\frac{3π}{2}<β<2π,
∴sinβ=-\frac{2\sqrt{5}}{5}
∴tanβ=-2,
∵tanα=\frac{1}{3}
∴tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{\frac{1}{3}-2}{1+\frac{2}{3}}=-1,
∴α+β=\frac{7π}{4}
故答案為:\frac{7π}{4}

點評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正切公式,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,求出tan(α+β)=-1,是解題的關(guān)鍵.

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