Question

5．設函數(shù)f（x）=ax²+b，其中a，b是實數(shù)．
（Ⅰ）若ab＞0，且函數(shù)f[f（x）]的最小值為2，求b的取值范圍；
（Ⅱ）求實數(shù)a，b滿足的條件，使得對任意滿足xy=l的實數(shù)x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若ab＞0，求函數(shù)f[f（x）]的表達式，利用換元法結合一元二次函數(shù)的最值性質建立方程關系進行求解即可；
（Ⅱ）由xy=l得y=$\frac{1}{x}$，代回不等式，將不等式進行轉化，利用換元法結合基本不等式的性質進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+b，
∴f[f（x）]=a³x⁴+2a²bx²+ab²+b，
設t=x²，
當ab＞0，且二次函數(shù)y=a³t²+2a²bt+ab²+b的對稱軸t=-$\frac{a}$＜0，
當a＜0時，不滿足條件．
∴a＞0，b＞0，
當t=0時，函數(shù)f[f（x）]取得最小值，即ab²+b=2，
從而ab=$\frac{2-b}＞$0，得0＜b＜2，
即b的取值范圍是（0，2）；
（Ⅱ）∵xy=l，∴y=$\frac{1}{x}$，
則由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）≥f（x）f（$\frac{1}{x}$），
即a（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+2b≥ab（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+a²+b²，
令t=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，則t≥2，
則a（1-b）t≥a²+b²-2b恒成立，
需要a（1-b）≥0，
此時y=a（1-b）t在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴2a（1-b）≥a²+b²-2b，
即（a+b）²-2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，
則實數(shù)a，b滿足的條件為$\left\{\begin{array}{l}{a（1-b）≥0}\\{a≤a+b≤2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查不等式的求解和應用，結合抽象函數(shù)的關系利用換元法結合一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，考查學生的運算和推理能力，難度較大．