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10.已知f(x)=Asin(2x+φ),其中A>0.
(1)若?x∈R使f(x+a)-f(x)=2A成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值是π2;
(2)若A=1,則f(x+π6)-f(x)的最大值為1.

分析 (1)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f(x+a)=A,f(x)=-A,故a的最小值為f(x)的半周期.
(2)使用和角公式化簡(jiǎn),利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.

解答 解:(1)∵f(x)的最大值為A,最小值為-A,f(x+a)-f(x)=2A,
∴f(x+a)=A,f(x)=-A,∴a的最小值為f(x)的半周期.
∵f(x)的周期T=π,∴a的最小值為π2
(2)f(x+π6)=sin(2x+π3+φ),f(x)=sin(2x+φ).
∴f(x+π6)-f(x)=sin(2x+π3+φ)-sin(2x+φ)=12sin(2x+φ)+32cos(2x+φ)-sin(2x+φ)
=32cos(2x+φ)-12sin(2x+φ)
=cos(2x+π6+φ).
∴f(x+π6)-f(x)的最大值為1.
故答案為π2,1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.

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