已知A、B是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右頂點(diǎn)，橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)C、D和x軸上一點(diǎn)P，滿足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
．
（1）設(shè)△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4，求證：S1S3=S2S4；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出
CP
=
1
3
CD
，C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，由此能夠證明S1S3=S2S4．
（2）設(shè)直線CD的方程為：x=my+x0由
x=my+x0
x2
4
+
y2
3
=1
，得：（3m2+4）y2+6mx0y+3x02-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出x0的取值范圍．
解答： （1）證明：∵
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
，∴
AP
=
1
3
AD
+(1-
1
3
)
AC
，
即
AP
-
AC
=
1
3
（
AD
-
AC
），
∴
CP
=
1
3
CD
，
∴C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4，
∴
S1
S2
=
|
CP
|
|
PD
|
=
S4
S3
，∴S1S3=S2S4．
（2）解：由（Ⅰ）知，C、D、P三點(diǎn)共線，且C、D在P點(diǎn)的兩側(cè)，且C、D異于A、B的兩點(diǎn)，
∴-2＜x0＜2，且直線CD不平行于x軸，
設(shè)直線CD的方程為：x=my+x0
由
x=my+x0
x2
4
+
y2
3
=1
，得：（3m2+4）y2+6mx0y+3x02-12=0，
當(dāng)-2＜x0＜2時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
∴y1+y2=-
6mx0
3m2+4
，y1y2=
3x02-12
3m2+4
，
又
CP
=
1
3
CD
，∴y2=-2y1，
聯(lián)立三式，消去y1、y2 得：-
72m2x02
(3m2+4)2
=
3x02-12
3m2+4
，
化簡(jiǎn)得：（27x02-12）m2=4（4-x02），
∵-2＜x0＜2，m2＞0，∴27x02-12＞0，
所以x0＞
2
3
或x0＜-
2
3
，
綜上知x0的取值范圍是（-2，-
2
3
）∪（
2
3
，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積乘積相等的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象作兩次變換得到，第一次變換是針對(duì)函數(shù)y=sinx的圖象而言的，第二次變換是針對(duì)第一次變換所得圖象而言的．現(xiàn)給出下列四個(gè)變換：
A．圖象上所有點(diǎn)向右平移
π
6
個(gè)單位；
B．圖象上所有點(diǎn)向右平移
π
3
個(gè)單位；
C．圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）；
D．圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
1
2
倍（縱坐標(biāo)不變）．
請(qǐng)按順序?qū)懗鰞纱巫儞Q的代表字母：
 
．（只要填寫(xiě)一組）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下四個(gè)命題中，正確的是（　�。�
A、△ABC為直角三角形的充要條件是
AB
•
AC
=0
B、若
OP
=
1
2
OA
+
1
3
OB
，則P、A、B三點(diǎn)共線
C、若{
a
，
b
，
c
}為空間的一個(gè)基底，則{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}也構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D、|(
a
•
b
)•
c
|=|
a
|•|
b
|•|
c
|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，M是矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，AC與BM相交于點(diǎn)N，BN=
2
3
BM．
（1）求證：M是CD的中點(diǎn)；
（2）若AB=2，BC=1，H是BM上異于B的一動(dòng)點(diǎn)，求
AH
•
HB
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[e，e2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x）在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”．已知函數(shù)f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“伴隨函數(shù)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在周長(zhǎng)為定值的△DEC中，已知|DE|=8，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值-
7
25
．
（1）以DE所在直線為x軸，線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程；
（2）直線l分別切橢圓G與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為
10
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a，b是區(qū)間[0，3]上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則直線ax+by+3=0與圓x2+y2=1沒(méi)有公共點(diǎn)的概率是
 
．

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