Question

如圖，M是矩形ABCD的邊CD上的一點，AC與BM相交于點N，BN=

2

3

BM．
（1）求證：M是CD的中點；
（2）若AB=2，BC=1，H是BM上異于B的一動點，求

AH

•

HB

的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例或相似三角形的性質(zhì)即可得出；
（2）通過建立直角坐標系，利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問題．

解答： 解：（1）∵AB∥CD，BN=

2

3

BM，∴

MC

AB

=

MN

BN

=

1

2

．
∴MC=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴M是CD的中點；
（2）如圖所示，建立直角坐標系．
B（2，0），M（1，1），

BM

=（-1，1）．
設

BH

=λ

BM

，則

BH

=λ(-1，1)=（-λ，λ），（0＜λ≤1）．

AH

=

AB

+

BH

=（2，0）+（-λ，λ）=（2-λ，λ）．
∴

AH

•

HB

=（λ，-λ）•（2-λ，λ）=λ（2-λ）-λ²=-2λ²+2λ
=-2(λ-

1

2

)2+

1

2

，
故當λ=1時，

AH

•

HB

取得最小值0．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例或相似三角形的性質(zhì)、通過建立直角坐標系利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問題等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．