Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點(-

2

，  

2

2

)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且|

OA

+

OB

| = |

AB

|，求弦AB長度的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，推出ab關系，化簡橢圓方程，利用橢圓過點(-

2

，  

2

2

)．求解即可得到橢圓C的標準方程；
（2）利用|

OA

+

OB

| = |

AB

|，推出

OA

⊥

OB

，通過直線l與x軸垂直求解線段的長度，直線l與不垂直，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，通過數(shù)量積為0，結合弦長公式，即可求弦AB長度的取值范圍．

解答： 解：（1）由e2=1-(

b

a

)2=

3

4

解得

b2

a2

=

1

4

，∴a=2b．
從而橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
將(-

2

，

2

2

)代入得

2

4b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1
∴b=1，a=2．∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1（3分）
（2）∵|

OA

+

OB

| = |

AB

|∴

OA

⊥

OB

當l⊥x軸時，由對稱性不妙設點A在第一象限，可求得A(

2

5

， 

2

5

)，B(

2

5

， -

2

5

)
∴|AB| =

4

5

=

4 5

5

當l不垂直于x軸時，可設直線l的方程為y=kx+m
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0（4分）
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

1+4k2

，  x1x2=

4m2-4

1+4k2

（5分）
∵

OA

⊥

OB

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
代入得(1+k2) • 

4m2-4

1+4k2

-km • 

8km

1+4k2

+m2=0，解得m2=

4k2+4

5

（7分）
∴|AB| =

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

 • 

(x1+x1)2-4x1x2

=

1+k2

 • 

64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)

1+4k2

=

1+k2  • 4 4k2+1-m2

1+4k2

=

4 1+k2  •  4k2+1- 4k2+4 5

1+4k2

=

4

5

 • 

(1+k2)(16k2+1)

1+4k2

（9分）
=

4

5

 • 

16k4+17k2+1 16k4+8k2+1

=

4

5

1+ 9k2 16k4+8k2+1

當k=0時，|AB| =

4

5

當k≠0時，|AB| =

4

5

1+ 9 16k2+ 1 k2 +8

≤

4

5

1+ 9 16

=

5

且|AB| ＞

4

5

綜上可知，弦AB長度的取值范圍為[

4 5

5

，  

5

]（12分）

點評：本題考查在與題意的綜合應用，橢圓方程的求法，解題時注意直線是否與x軸垂直是解題的易疏忽點，考查分類討論以及轉化思想的應用．