考點:直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)利用橢圓C:
+=1(a>b>0)的離心率為
,推出ab關系,化簡橢圓方程,利用橢圓過點
(-, ).求解即可得到橢圓C的標準方程;
(2)利用|
+| = ||,推出
⊥,通過直線l與x軸垂直求解線段的長度,直線l與不垂直,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,通過數(shù)量積為0,結合弦長公式,即可求弦AB長度的取值范圍.
解答:
解:(1)由
e2=1-()2=解得
=,∴a=2b.
從而橢圓方程為
+=1,
將
(-,)代入得
+=1,解得b
2=1
∴b=1,a=2.∴橢圓方程為
+y2=1(3分)
(2)∵
|+| = ||∴
⊥當l⊥x軸時,由對稱性不妙設點A在第一象限,可求得
A(, ),B(, -)∴
|AB| ==當l不垂直于x軸時,可設直線l的方程為y=kx+m
由
消去y,得(1+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-4=0(4分)
由△=64k
2m
2-4(1+4k
2)(4m
2-4)>0得4k
2+1>m
2設A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則
x1+x2=-, x1x2=(5分)
∵
⊥∴
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0代入得
(1+k2) • -km • +m2=0,解得
m2=(7分)
∴
|AB| =|x1-x2|= • =
• ==
= • (9分)
=
• =當k=0時,
|AB| =當k≠0時,
|AB| =≤=且
|AB| >綜上可知,弦AB長度的取值范圍為
[, ](12分)
點評:本題考查在與題意的綜合應用,橢圓方程的求法,解題時注意直線是否與x軸垂直是解題的易疏忽點,考查分類討論以及轉化思想的應用.