Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C₁上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)（0，

1

7

）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)右焦點(diǎn)F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根據(jù)拋物線的定義可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，并代入拋物線方程，可求其縱坐標(biāo)；把點(diǎn)M代入橢圓方程，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即可求得橢圓C₁的方程；
（2）①直線BD所在的直線的斜率為1，且過點(diǎn)（0，

1

7

），可求出BD的方程，∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線ACy=-x+m，聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理即可求得AC的中點(diǎn)，在直線BD上，可求直線AC的方程；②ABCD為菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面積的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦AC的最大值，利用韋達(dá)定理求出AC的長度，并求其最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)M（x₁，y₁）∵F2(1，0)|MF2| =

5

3

．
由拋物線定義，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

∵

y

2 1

=4x1，∴y1=

2 6

3

．
∴M(

2

3

，

2 6

3

)∵M(jìn)在c₁上，

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b²=a²-1
∴9a⁴-37a²+4=0∴a²=4或a2=

1

9

＜c2舍去．
∴a²=4，b²=3
∴橢圓c₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①直線BD的方程為y=x+

1

7

∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，設(shè)直線AC為y=-x+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=-x+m

，得7x²-8mx+4m²-12=0
∵A，C、在橢圓C₁上，∴△＞0解得(-

7?

，＜m＜

7?

)，
設(shè)A（x₁，y₁），c（x₂，y₂），
則x1+x2=

8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

，
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=

6m

7

，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

4m

7

，

3m

7

)．
由ABCD為菱形可知，點(diǎn)(

4m

7

，

3m

7

)在直線y=x+

1

7

上，
∴

3m

7

=

4m

7

+

1

7

，m=-1∈(-

7

，

7

)．
∴直線AC的方程為y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面積
S=

3

2

|AC|2=

3

2

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

3

2

 •2[(x1+x2)2-4x1x2]

3

(

64m2

49

-4

4m2-12

7

)
=

48 3

49

(7-m2 )，(-

7

，＜m＜

7

)．
∴當(dāng)m=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值

48 3

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問題，綜合性強(qiáng)，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．