精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
分析：（1）由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得：
a=5
b=3
c=4
，由此能夠求出橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），設M(x0，y0)，則由
AM
=
MP
，得M為AP的中點，P點坐標為（2x0+5，2y0），將M、P坐標代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1
，解之得P（10，3
3
)，直線PB：y=
3
3
5
(x-5)，由此能夠求出
MN
•
AB
=0．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得：
a=5
b=3
c=4

∴橢圓的方程為
x2
25
+
y2
9
=1，雙曲線的方程
x2
25
-
y2
9
=1．
又c′=
25+9
=
34
，
∴雙曲線的離心率e2=
34
5
（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），設M(x0，y0)，則由
AM
=
MP

得M為AP的中點，∴P點坐標為（2x0+5，2y0）
將M、P坐標代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1
，
消去y0得2x02+5x0-25=0，
解之得x0=
5
2
或x0=-5(舍)，
由此可得P（10，3
3
)，直線PB：y=
3
3
10-5
(x-5)，
即y=
3
3
5
(x-5)
代入
x2
25
+
y2
9
=1得：2x2-15x+25=0，
∴x=
5
2
或5(舍)∴xN=
5
2
，∴xN=xM，
故MN⊥x軸，所以
MN
•
AB
=0（12分）
點評：本題考查橢圓方程及雙曲線離心率的求法，計算
MN
•
AB
的值．解題時要熟練掌握解決直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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