Question

設(shè)A∪B∪C={1，2，3，4，5，6}，且A∩B={1，2}，{1，2，3，4}⊆B∪C，則符合條件的（A，B，C）共有

 

組．（注：A，B，C順序不同視為不同組）

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：集合

分析：由A∩B={1，2}，可知集合A，B必含元素1，2，且無(wú)其它公共元素，又由{1，2，3，4}⊆B∪C，可知3，4兩個(gè)元素對(duì)于A和B兩個(gè)集合的關(guān)系是相同的，5，6兩個(gè)元素對(duì)于A和B兩個(gè)集合的關(guān)系也是相同的，分類討論滿足條件的集合個(gè)數(shù)，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵A∩B={1，2}，
∴集合A，B必含元素1，2，且無(wú)其它公共元素
（1）當(dāng)A={1，2}時(shí)，
若3∉B，4∉B，B共有4種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共4×16=64種不同情況；
若3∉B，4∈B，B共有4種不同情況，那么3∈C，C共有2⁵=32種情況，共4×32=128種不同情況；
若3∈B，4∉B，B共有4種不同情況，那么4∈C，C共有2⁵=32種情況，共4×32=128種不同情況；
若3∈B，4∈B，B共有4種不同情況，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共4×16=64種不同情況；
綜上，共有64+128+128+64=384種不同情況；
（2）當(dāng)A={1，2，3}時(shí)，則3∉B，
若4∉B，B共有4種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共4×16=64種不同情況；
若4∈B，B共有4種不同情況，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共4×16=64種不同情況；
綜上，共有64+64=128種不同情況；
（3）當(dāng)A={1，2，4}時(shí)，由（2）可知共有128種不同情況；
（4）當(dāng)A={1，2，5}時(shí)，則5∉B，
若3∉B，4∉B，B共有2種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共2×16=32種不同情況；
若3∉B，4∈B，B共有2種不同情況，那么3∈C，C共有2⁵=32種情況，共2×32=64種不同情況；
若3∈B，4∉B，B共有2種不同情況，那么4∈C，C共有2⁵=32種情況，共2×32=64種不同情況；
若3∈B，4∈B，B共有2種不同情況，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共2×16=32種不同情況；
綜上，共有32+64+64+32=192種不同情況；
（5）當(dāng)A={1，2，6}時(shí)，由（4）可知共有192種不同情況；
（6）當(dāng)A={1，2，3，4}時(shí)，則3∉B，4∉B，
B共有4種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共4×16=64種不同情況；
（7）當(dāng)A={1，2，3，5}時(shí)，則3∉B，5∉B，
若4∉B，B共有2種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共2×16=32種不同情況；
若4∈B，B共有2種不同情況，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共2×16=32種不同情況；
綜上，共有32+32=64種不同情況；
（8）當(dāng)A={1，2，3，6}時(shí)，由（7）可知共有64種不同情況；
（9）當(dāng)A={1，2，4，5}時(shí)，由（7）可知共有64種不同情況；
（10）當(dāng)A={1，2，4，6}時(shí)，由（7）可知共有64種不同情況；
（11）當(dāng)A={1，2，5，6}時(shí)，則5∉B，6∉B，
若3∉B，4∉B，B共有1種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共1×16=16種不同情況；
若3∉B，4∈B，B共有1種不同情況，那么3∈C，C共有2⁵=32種情況，共1×32=32種不同情況；
若3∈B，4∉B，B共有1種不同情況，那么4∈C，C共有2⁵=32種情況，共1×32=32種不同情況；
若3∈B，4∈B，B共有1種不同情況，那么3∉C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共1×16=16種不同情況；
綜上，共有16+32+32+16=96種不同情況；
（12）當(dāng)A={1，2，3，4，5}時(shí)，則3∉B，4∉B，5∉B
B共有2種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共2×16=32種不同情況；
（13）當(dāng)A={1，2，3，4，6}時(shí)，由（11）可知共有32種不同情況；
（14）當(dāng)A={1，2，3，5，6}時(shí)，則3∉B，5∉B，6∉B
若4∉B，B共有1種不同情況，那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共16種不同情況；
若4∈B，B共有1種不同情況，那么3∈C，4∉C，C共有2⁴=16種情況，共16種不同情況；
綜上，共有16+16=32種不同情況；
（15）當(dāng)A={1，2，4，5，6}時(shí)，由（13）可知共有32種不同情況；
（16）當(dāng)A={1，2，3，4，5，6}時(shí)，則B={1，2}，
那么3∈C，4∈C，C共有2⁴=16種情況，共16種不同情況；
綜上，符合條件的（A，B，C）共有384+128+128+192+192+64+64+64+64+64+96+32+32+32+32+16=1584種情況．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是滿足條件的集合個(gè)數(shù)，當(dāng)集合中不確定元素為n個(gè)時(shí)，滿足條件的集合共有2ⁿ個(gè)．