Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+cos（π-2x）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最小正周期和遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍確定2x-

π

4

的范圍，繼而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+cos（π-2x）
=1+sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)單調(diào)增．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

π

4

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
∴0≤

2

sin（2x-

π

4

）+1≤

2

+1
∴f（x）函數(shù)在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上的取值范圍為[0，

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用和三角函數(shù)的基本性質(zhì)．對(duì)于三角函數(shù)的題型采用數(shù)形結(jié)合的思想往往收到事半功倍的效果．