Question

設(shè)f_n（x）=sin（

nπ

2

+x）（n∈N^*），若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，則sinA+cosA=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：分別取n=1，2，3，4，5求得f_n（x），發(fā)現(xiàn)函數(shù)周期性出現(xiàn)的規(guī)律，再由f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，求出角A的值，則答案可求．

解答： 解：由f_n（x）=sin（

nπ

2

+x），得：
f1(x)=sin(

π

2

+x)=cosx，
f₂（x）=sin（π+x）=-sinx，
f3(x)=sin(

3π

2

+x)=-cosx，
f₄（x）=sin（2π+x）=sinx，
f5(x)=sin(

5π

2

+x)=cosx，
…
f_n（x）周期出現(xiàn)，周期為4，
由f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，得：
cosA-sinA=0，即tanA=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

4

．
∴sinA+cosA=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

2

+

2

2

=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，解答此題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)具備周期性，是中檔題．