Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））-$\frac{3}{2}$=0在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)無解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [0，+∞）
• D． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得x＜0時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，即可得到k（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$=0，方程無解，則k≥0，問題得以解決．再討論x≥0時(shí)的情況．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，
∴f（f（x））=k（$\frac{1}{2}$）^x+2，
∴k（$\frac{1}{2}$）^x+2-$\frac{3}{2}$=0
∴k（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$=0，
當(dāng)k≥0時(shí)方程無解，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=kx+2，
若k≥0，則f（x）=kx+2≥2，
∴f（f（x））=k（f（x））≥2，
∴方程f（f（x））-$\frac{3}{2}$=0，方程無解，
綜上所述a≥0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題