Question

9．如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm²，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)廣告牌的高為xcm，寬為ycm
（1）試用x表示y；
（2）用x表示廣告牌的面積S（x）；
（2）廣告牌的高取多少時(shí)，可使廣告牌的面積S（x）最��？

Answer 1

分析 （1）設(shè)廣告牌的高為xcm，寬為ycm，可得每欄的高和寬分別為（x-20）cm，$\frac{1}{2}（{y-25}）cm$，其中x＞20，y＞25．由矩形面積公式即可得到所求；
（2）由矩形面積公式，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得到所求；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值，也為最小值．

解答 解：（1）設(shè)廣告牌的高為xcm，寬為ycm，可得
每欄的高和寬分別為（x-20）cm，$\frac{1}{2}（{y-25}）cm$，其中x＞20，y＞25．
兩欄面積之和為：$2（{x-20}）•\frac{y-25}{2}=18000$，整理得，$y=\frac{18000}{x-20}+25$．…（4分）
（2）$S（x）=xy=x（{\frac{18000}{x-20}+25}）=\frac{18000x}{x-20}+25x$，（x＞20）…（7分）
（3）$S'（x）=\frac{{25{{（{x-20}）}^2}-36000}}{{{{（{x-20}）}^2}}}$，…（10分）
當(dāng)20＜x＜140時(shí)，S'（x）＜0；當(dāng)x＞140時(shí)，S'（x）＞0；
所以函數(shù)S（x）在（20，140）上單調(diào)減，在（140，+∞）上單調(diào)增，…（14分）
當(dāng)x=140時(shí)，S（x）取得極小值，也是最小值為S（140），…（15分）
答：當(dāng)廣告牌的高取140cm時(shí)，可使廣告的面積S（x）最�。�…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的運(yùn)用：求最值，考查分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．