Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-a|+a，x∈R．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）對(duì)任意x∈R恒有f（x）≥3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＞7即為|2x-1|+|2x-3|＞4，對(duì)x討論，分當(dāng)x≥

3

2

時(shí)，當(dāng)x≤

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜x＜

3

2

時(shí)，分別去絕對(duì)值，解不等式，最后求并集即可；
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為|a-1|+a，由恒成立思想可得|a-1|+a≥3，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＞7即為
|2x-1|+|2x-3|＞4，
當(dāng)x≥

3

2

時(shí)，即有2x-1+2x-3＞4，解得x＞2，則有x＞2；
當(dāng)x≤

1

2

時(shí)，即有1-2x+3-2x＞4，解得x＜0，則有x＜0；
當(dāng)

1

2

＜x＜

3

2

時(shí)，即有2x-1+3-2x＞4，即2＞4，無(wú)解．
綜上可得，x＜0或x＞2．
則解集為（-∞，0）∪（2，+∞）．
（2）由于函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥|2x-1-（2x-a）|+a=|a-1|+a，
則f（x）的最小值為|a-1|+a，
由f（x）≥3恒成立，可得|a-1|+a≥3，
即有

a≥1 2a-1≥3

或

a＜1 1≥3

，
即為a≥2或x∈∅，
則有實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想方法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．