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8.在平面直角坐標系xOy中,已知點Q(1,2),P是動點,且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足1kOP+1kOQ=1kPQ
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)過點D(1,0)任作兩條互相垂直的直線l1,l2,分別交軌跡C于點A,B和M,N,設(shè)線段AB,MN的中點分別為E,F(xiàn)求證:直線EF恒過一定點.

分析 (1)設(shè)出P點坐標,求出OP、OQ、PQ的斜率,代入1kOP+1kOQ=1kPQ,整理可得點P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),與拋物線方程聯(lián)立,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得E的坐標,同理求出F的坐標,進一步求出EF所在直線方程,由線系方程證明直線EF恒過一定點.

解答 (1)解:設(shè)點P的坐標為P(x,y),則kOP=yx,kOQ=2,kPQ=y2x1,
1kOP+1kOQ=1kPQ,得xy+12=x1y2
整理得點P的軌跡的方程為:y2=4x(y≠0,y≠2);
(2)證明:設(shè)點A,B的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則點E的坐標為x1+x22y1+y22
由題意可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),
{y2=4xy=kx1,消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0.
∵直線l1與拋物線交于A,B兩點,
x1+x2=2+4k2,y1+y2=kx1+x22=4k,
∴點E的坐標為1+2k22k
由題知,直線l2的斜率為1k,同理可得F的坐標為(1+2k2,-2k).
當k≠±1時,有1+2k21+2k2
此時直線EF的斜率為:kEF=2k+2k1+2k212k2=k1k2
∴直線EF的方程為y+2k=k1k2x12k2,整理得y=k1k2x3
于是直線EF恒過定點(3,0),
當k=±1時,直線EF的方程為x=3,也過點(3,0).
綜上所述,直線EF恒過定點(3,0).

點評 本題考查軌跡方程的求法,考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.

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