分析 (1)設(shè)出P點坐標,求出OP、OQ、PQ的斜率,代入1kOP+1kOQ=1kPQ,整理可得點P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),與拋物線方程聯(lián)立,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得E的坐標,同理求出F的坐標,進一步求出EF所在直線方程,由線系方程證明直線EF恒過一定點.
解答 (1)解:設(shè)點P的坐標為P(x,y),則kOP=yx,kOQ=2,kPQ=y−2x−1,
由1kOP+1kOQ=1kPQ,得xy+12=x−1y−2.
整理得點P的軌跡的方程為:y2=4x(y≠0,y≠2);
(2)證明:設(shè)點A,B的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),則點E的坐標為(x1+x22,y1+y22).
由題意可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),
由{y2=4xy=k(x−1),消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0.
∵直線l1與拋物線交于A,B兩點,
∴x1+x2=2+4k2,y1+y2=k(x1+x2−2)=4k,
∴點E的坐標為(1+2k2,2k).
由題知,直線l2的斜率為−1k,同理可得F的坐標為(1+2k2,-2k).
當k≠±1時,有1+2k2≠1+2k2.
此時直線EF的斜率為:kEF=2k+2k1+2k2−1−2k2=k1−k2,
∴直線EF的方程為y+2k=k1−k2(x−1−2k2),整理得y=k1−k2(x−3).
于是直線EF恒過定點(3,0),
當k=±1時,直線EF的方程為x=3,也過點(3,0).
綜上所述,直線EF恒過定點(3,0).
點評 本題考查軌跡方程的求法,考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 相外切 | B. | 相內(nèi)切 | C. | 相交 | D. | 外離 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (x−32)2+(y−32)2=1 | B. | (x−32)2+(y−32)2=4 | C. | (x-3)2+(y-3)2=1 | D. | (x-3)2+(y-3)2=2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {2,3,4,5} | B. | {0,2} | C. | {0,2,3,4,5} | D. | {0,2,3,4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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