Question

2．設函數(shù)f（x）=xe^a-x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4．
（1）求a，b的值；    
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，
∴當x=2時，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同時f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2{e}^{a-2}+2b=2e+2}\\{f′（2）={e}^{a-2}-2{e}^{a-2}+b=e-1}\end{array}\right.$，
即a=2，b=e；
（2）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e，
f″（x）=-e^2-x-（1-x）e^2-x=（x-2）e^2-x，
由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，
即當x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1-2）e^2-2+e=e-1＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
即f（x）的單調區(qū)間是（-∞，+∞）．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合切線斜率建立方程關系以及利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．