Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+b，其中a，b為常數(shù)，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，若f₃（x）=8x+21，則ab=________，f_n（x）=________．

Answer 1

6    2ⁿx+3×2ⁿ-3
分析：根據(jù)題意分別推出f₂（x），f₃（x）的解析式，又f₃（x）=8x+21，根據(jù)兩多項式相等時，系數(shù)對應(yīng)相等，即可列出關(guān)于a與b的方程，求出方程的解即可得到a與b的值，進而求出ab的值，再根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項．
解答：由f₁（x）=f（x）=ax+b，得到f₂（x）=f（f₁（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f₃（x）=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
即a³=8①，a²b+ab+b=21②，
由①解得：a=2，把a=2代入②解得：b=3，
則ab=6．
從而f（x）=2x+3，f₁（x）=f（f（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
∴f₁（x）=2x+3=2¹x+3•2¹-3
f₂（x）=4x+9=2²x+3•2²-3
f₃（x）=8x+21=2³x+3•2³-3
…
不妨猜想：f_n（x）=2ⁿx+3×2ⁿ-3
故答案為：6；2ⁿx+3×2ⁿ-3．
點評：此題考查學(xué)生會根據(jù)一系列等式推出一般性的規(guī)律，掌握兩多項式相等時滿足的條件，是一道基礎(chǔ)題．