Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足：${log_3}a{\;}_n+1={log_3}{a_{n+1}}，（{n∈{N^+}}）$，且a₂+a₄+a₆=9，則${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$的值為-5．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式結合對數(shù)的運算性質可得數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，由已知a₂+a₄+a₆=9，結合等比數(shù)列的性質可得a₅+a₇+a₉的值，代入${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$得答案．

解答 解：由${log_3}a{\;}_n+1={log_3}{a_{n+1}}，（{n∈{N^+}}）$，得log₃（3a_n）=log₃a_n+1，
∴a_n+1=3a_n，且a_n＞0，
∴數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，
又a₂+a₄+a₆=9，∴${a}_{5}+{a}_{7}+{a}_{9}=（{a}_{2}+{a}_{4}+{a}_{6}）•{q}^{3}$=3⁵．
∴${log_{\frac{1}{3}}}（{a_5}+{a_7}+{a_9}）$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{3}^{5}=-5$．
故答案為：-5．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了對數(shù)的運算性質，考查等比數(shù)列的性質，屬中檔題．