Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率e=

3

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）A、B是橢圓上兩點(diǎn)，且關(guān)于x軸對稱，E是橢圓上不同于A、B的一點(diǎn)，且直線BE、AE分別交x軸于點(diǎn)P、Q，求證|OQ|•|OP|是定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率e=

3

2

，可得b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）設(shè)A（s，t），則B（s，-t）．可得s²+4t²=4．設(shè)E（m，n），則m²+4n²=4．直線AE的方程為：y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，可得Q(

mt-ns

t-n

，0)．
BE：y-n=

n+t

m-s

(x-m)，令y=0，可得P(

mt+sn

n+t

，0)．即可證明|OQ|•|OP|是定值．

解答： （1）解：∵橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率e=

3

2

，
∴b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1，c=

3

．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：設(shè)A（s，t），則B（s，-t）．則s²+4t²=4．
設(shè)E（m，n），則m²+4n²=4．
直線AE的方程為：y-n=

t-n

s-m

(x-m)，令y=0，可得x=

mt-ns

t-n

，即Q(

mt-ns

t-n

，0)．
BE：y-n=

n+t

m-s

(x-m)，令y=0，可得x=

mt+sn

n+t

，即P(

mt+sn

n+t

，0)．
∴|OQ|•|OP|=

m2t2-s2n2

t2-n2

=

(4-4n2)t2-(4-4t2)n2

t2-n2

=

4(t2-n2)

t2-n2

=4為定值．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．