【答案】
分析:(1)欲證DE為異面直線AB
1與CD的公垂線,即證DE與異面直線AB
1與CD垂直相交即可;
(2)將AB
1平移到DG,故∠CDG為異面直線AB
1與CD的夾角,作HK⊥AC
1,K為垂足,連接B
1K,由三垂線定理,得B
1K⊥AC
1,因此∠B
1KH為二面角A
1-AC
1-B
1的平面角,在三角形B
1KH中求出此角即可.
解答:解:(1)連接A
1B,記A
1B與AB
1的交點為F.
因為面AA
1BB
1為正方形,故A
1B⊥AB
1,且AF=FB
1,
又AE=3EB
1,所以FE=EB
1,
又D為BB
1的中點,
故DE∥BF,DE⊥AB
1.
作CG⊥AB,G為垂足,由AC=BC知,G為AB中點.
又由底面ABC⊥面AA
1B
1B.連接DG,則DG∥AB
1,故DE⊥DG,由三垂線定理,得DE⊥CD.
所以DE為異面直線AB
1與CD的公垂線.
(2)因為DG∥AB
1,故∠CDG為異面直線AB
1與CD的夾角,∠CDG=45°
設(shè)AB=2,則AB
1=
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,DG=
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,CG=

,AC=

.
作B
1H⊥A
1C
1,H為垂足,因為底面A
1B
1C
1⊥面AA
1CC
1,故B
1H⊥面AA
1C
1C.又作HK⊥AC
1,K為垂足,連接B
1K,由三垂線定理,得B
1K⊥AC
1,因此∠B
1KH為二面角A
1-AC
1-B
1的平面角.
B
1H=
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,C
1H=
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,AC
1=
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,HK=
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tan∠B
1KH=
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,
∴二面角A
1-AC
1-B
1的大小為arctan
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.
點評:本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解,考查考生的空間想象與推理計算的能力.三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一,是高考的熱點,它是處理線線垂直問題的有效方法,同時它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量,用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題,淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法,從而降低了思維難度,使解題變得程序化,這是用向量解立體幾何問題的獨到之處.