如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE 沿直線DE翻折成△A′DE,F(xiàn)為A′C的中點(diǎn),A′C=4
(I)求證:平面A′DE⊥平面BCD;
(II)求證:BF∥平面A′DE.

【答案】分析:(Ⅰ)由等邊三角形的性質(zhì)可得A'M⊥DE,由勾股定理可得A'M⊥MC,從而證明A'M⊥平面ABCD.
(Ⅱ)選取DC的中點(diǎn)N,由三角形中位線的性質(zhì)可得FN∥A'D,由平行四邊形的性質(zhì)可證BN∥DE,證明平面A'DE∥平面FNB,從而證明FB∥平面A'DE.
解答:證明:(Ⅰ)證由題意得△A'DE是△ADE沿DE翻轉(zhuǎn)而成,所以△A'DE≌△ADE,
∵∠ABC=120°,四邊形ABCD是平形四邊形,
∴∠A=60°,又∵AD=AE=2∴△A'DE和△ADE都是等邊三角形.∵M(jìn)是DE的中點(diǎn),∴
由在∵△DMC中,MC2=42+12-2×4×1•cos60°,
.   在△A'MC中,,
∴△A'MC是直角三角形,∴A'M⊥MC,又∵A'M⊥DE,MC∩DE=M,∴A'M⊥平面ABCD.
又∵A'M?平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD.
(Ⅱ)選取DC的中點(diǎn)N,連接FN,NB.∵A'C=DC=4,F(xiàn),N點(diǎn)分別是A'C,DC中點(diǎn),∴FN∥A'D.
又∵N,E點(diǎn)分別是平行四邊形ABCD的邊 DC,AB的中點(diǎn),∴BN∥DE.
又∵A'D∩DE=D,F(xiàn)N∩NB=N,∴平面A'DE∥平面FNB,∵FB?平面FNB,∴FB∥平面A'DE.
點(diǎn)評(píng):本題考查證明線面平行、面面垂直的方法,面面垂直的判定和性質(zhì),取DC的中點(diǎn)N 是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平行四邊形OABC中,點(diǎn)O是原點(diǎn),點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是(3,0)、(1,3),點(diǎn)D是線段AB上的中點(diǎn).
(1)求AB所在直線的一般式方程;
(2)求直線CD與直線AB所成夾角的余弦值.

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