Question

分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)．（用數(shù)字作答）
（Ⅰ）6人排成一排，甲、乙不相鄰；
（Ⅱ）6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊；（甲、乙、丙可以不相鄰）
（Ⅲ）從6人中選出4人參加4×100米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（Ⅳ））6人排成一排，甲、乙相鄰，且乙與丙不相鄰．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先將除甲乙之外的4個人全排列，再把甲、乙插入到4個人形成的5個空位中，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)題意，分2步分析，①先在6個位置中任選3個，安排除甲、乙、丙之外的3人，②、在剩余3個位置中，依次安排甲、乙、丙3人，依據(jù)排列組合公式計算每一步的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（Ⅲ）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、若甲跑第四棒，②、若甲不跑第四棒，依據(jù)排列組合公式計算每一種情況的排法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案；
（Ⅳ）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、若甲同時與乙丙相鄰，②、若甲乙相鄰，但與丙均不相鄰，依據(jù)排列組合公式計算每一種情況的排法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）分2步進(jìn)行分析：
先將除甲乙之外的4個人全排列，有A₄⁴種排法，排好后有5個空位，
再把甲、乙插入到5個空位中，有A₅²種安排方法，
則甲、乙不相鄰的排法有

A

2 5

•

A

4 4

=480種；
（Ⅱ）根據(jù)題意，分2步分析，
先在6個位置中任選3個，安排除甲、乙、丙之外的3人，有A₆³種排法，
而要求甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，只需在剩余3個位置中，依次安排甲、乙、丙3人，有1種情況，
則符合題意的排法有

A

3 6

=120種；
（Ⅲ）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、若甲跑第四棒，此時只需在剩余5人中任選3人，安排在第一、二、三棒即可，有A₅³種安排方法，
②、若甲不跑第四棒，此時第四棒的排法有A₄¹種，第一棒的排法有A₄¹種，在剩余4人中任選2人，安排在第二、三棒，有A₄²種安排方法，
此時共有A₄¹•A₄²•A₄¹種安排方法；
則甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的排法有

A

3 5

+

A

1 4

•

A

2 4

•

A

1 4

=252種；
（Ⅳ）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、若甲同時與乙丙相鄰，即甲在中間，乙、丙在兩邊，有2種情況，
將3人看成一個整體，與其他三人全排列，共有2A₄⁴種排法，
②、若甲乙相鄰，但與丙均不相鄰，
將剩余三人進(jìn)行全排列，有A₃³種排法，排好后有4個空位，
將甲乙看成一個整體，考慮其順序有A₂²種情況，
在4個空位中任選2個，安排甲乙這個整體和丙，有A₄²•A₃³•A₂²種排法；
綜合可得，共有2

A

4 4

+

A

2 4

•

A

3 3

•

A

2 2

=192種排法．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的運(yùn)用，要熟練掌握常見問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法，不能相鄰問題用插空法．