Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形， 分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：//平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) （3）

【解析】

(1)法一:構(gòu)造平行四邊形,利用三角形中位線(xiàn)定理,證明平行,即可.法二:建立空間坐標(biāo)系,計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算平面PBC的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,即可.(2)利用向量數(shù)量積公式,代入坐標(biāo),即可.(3)結(jié)合向量數(shù)量積公式,代入,即可.

（1）法一：，則//,

依題意得，//,,

所以為平行四邊形，

//

又平面， 平面, ∴//平面

法二：以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，

由 ，分別是的中點(diǎn)，可得：

∴，

設(shè)平面的的法向量為，

則有：

令，則，

∴，又平面

∴//平面

（2）設(shè)平面的的法向量為，

又

則有：

令，則，

又，

∴，

∴求直線(xiàn) 與平面所成的角的正弦值為

（3）

∴點(diǎn)到平面的距離.