Question

若q＞0，且q≠1，比較大小：

(1)1＋q²與2q；(2)1＋q³與q＋q²．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：多項式與多項式比較大小，由于展開時較繁，作差后靈活選擇乘法公式進(jìn)行因式分解，利用實(shí)數(shù)的符號法則確定積的正負(fù)． 　　解答：(1)(1＋q2)－2q＝1－2q＋q2＝(1－q)2 　　∵q＞0，且q≠1 ∴(1－q)2＞0 　　故1＋q2＞2q． 　　(2)(1＋q3)－(q＋q2) 　�。�(q＋1)(q2－q＋1)－q(q＋1) 　�。�(q＋1)(q2－2q＋1) 　　＝(q＋1)(q－1)2 　　∵q＞0且q≠1∴(q＋1)(q－1)2＞0 　　故1＋q3＞q＋q2． 　　評析：本題的結(jié)論使我們聯(lián)想到，對于正項的等比數(shù)列{a1qn－1}(q≠1)有如下性質(zhì)：與兩端“等距離”兩項之和，靠兩端的和大于靠中間的和．即在數(shù)列a1，a1q，a1q2，…，a1qn－2，a1qn－1中(a1＞0，q＞0，q≠1)有：a1＋a1qn－1＞a1q＋a1qn－2＞a1q2＋a1qn－3＞…．