Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求sinB的值；
（2）若b=2，且a=c，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）由已知化簡可得sinA=3sinAcosB，即可求得sinB的值；
（2）由（1）得cosB=

1

3

，從而可由余弦定理解得a²的值，從而可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）∵已知bcosC=（3a-c）cosB．
∴由正弦定理可得：sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
即有sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，
∵A為△ABC的內(nèi)角，有sinA≠0，兩邊同時(shí)除以sinA，可解得cosB=

1

3

，
∴sinB=

2 2

3

．
（2）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，…①
又∵已知b=2，a=c，由（1）知cosB=

1

3

∴由①可得：4=a²+a²-2a²×

1

3

，從而解得：a²=3
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

a²sinB=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．