Question

19．函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為y=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，討論x=0，x＞0，x＜0，分子常數(shù)化，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最值，進(jìn)而得到范圍．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$
=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1；
當(dāng)x＞0時(shí)，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{4}{x}}}$=$\frac{5}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得最大值$\frac{5}{4}$；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{（-x）•\frac{4}{-x}}}$=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取得最小值$\frac{3}{4}$．
則函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用討論思想方法，以及基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．