Question

9．已知函數(shù)$f（x）=ln（{x-2}）-\frac{x^2}{2a}$（a為常數(shù)，a≠0）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（3，f（3））的切線方程
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在x₀處取得極值，且${x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$，而f（x）≥0在[e+2，e³+2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（3），f′（3）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀處有極值，求出${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，得到f（x）在[e+2，e³+2]上單調，根據函數(shù)的單調性得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2）
（Ⅰ）當a=1時，$f'（x）=\frac{1}{x-2}x$，f'（3）=-2.$f（3）=-\frac{9}{2}$，
所以，函數(shù)f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：
$y+\frac{9}{2}=-2（{x-3}）$，即4x+2y-3=0．…（3分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}=-\frac{{{x^2}-2x-a}}{{a（{x-2}）}}$=$-\frac{1}{{a（{x-2}）}}[{{{（{x-1}）}^2}-（{a+1}）}]$，
因為x＞2，所以x-2＞0，
①當a＜0時，（x-1）²-（a+1）=x（x-2）-a＞0在x＞2上成立，
所以f'（x）當x＞2恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)．…（5分）
②當a＞0時，$f'（x）=-\frac{1}{{a（{x-2}）}}（{x-1+\sqrt{a+1}}）（{x-1-\sqrt{a+1}}）$，
因為x＞2，
所以$x-1+\sqrt{a+1}＞0$，a（x-2）＞0，
當$x≥1+\sqrt{a+1}$時，f'（x）≤0，f（x）為減函數(shù)；
當$2≤x≤1+\sqrt{a+1}$時，f'（x）≥0，f（x）為增函數(shù)．…（7分）
綜上：當a＜0時，f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
當a＞0時，f（x）在$（{2，1+\sqrt{a+1}}）$上為增函數(shù)，在$（{1+\sqrt{a+1}，+∞}）$上為減函數(shù)．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x₀處有極值，故a＞0，且${x_0}=1+\sqrt{a+1}$，
因為${x_0}∉[{e+2，{e^3}+2}]$且e+2＞2，
所以f（x）在[e+2，e³+2]上單調．…（10分）
當[e+2，e³+2]為增區(qū)間時，f（x）≥0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}{e^3}+2＜1+\sqrt{a+1}\\ f（{e+2}）≥0\end{array}\right.⇒a＞{e^6}+2{e^3}$．
當[e+2，e³+2]為減區(qū)間時，f（x）≥0恒成立，則有$\left\{\begin{array}{l}e+2＞1+\sqrt{a+1}\\ f（{{e^3}+2}）≥0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＜{e^2}+2e\\ a≥\frac{{{e^6}+4{e^3}+4}}{6}\end{array}\right.$解集為空集．
綜上：當a＞e⁶+2e³時滿足條件．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．