Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列和通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由T_n=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解得a₁=2，q=2，或a1=32，q=

1

2

，
又{a_n}單調(diào)遞增，∴q=2，a₁=2，
∴an=2n．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，①
2T_n=n•2²+（n-1）•2³+…+2•2ⁿ+2ⁿ⁺¹，②
②-①得：Tn=-2n+22+23+…+2n+2n+1
=-2n+

22(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-2n-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．