Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂離心率為e=

2

2

，過點(diǎn)（

2

，1）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為M，連接MA，MB并延長交直線x=4于P、Q兩點(diǎn)，y_P，y_Q分別為P、Q的縱坐標(biāo)，且滿足

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．
求證：直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由離心率為e=

c

a

，得到一方程，再由橢圓過點(diǎn)（

2

，1），代入方程，再由a，b，c的關(guān)系，解方程組，即可得到a，b，從而求出橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，消去y，得到x的二次方程，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由條件化簡整理，即可得到k，m的關(guān)系，再由直線l的方程，即可判斷恒過定點(diǎn)（1，0）．

解答： （1）解：由離心率為e=

2

2

，即

c

a

=

2

2

，①
橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（

2

，1），即有

2

a2

+

1

b2

=1，②
又c²=a²-b²③
由①②③，解得a=2，b=

2

，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）證明：聯(lián)立

x2+2y2=4 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x+4kmx+2m²-4=0，
則△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-4）=32k²-8m²+16＞0，又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-4

2k2+1

，
設(shè)直線MA：y=

y1

x1+2

（x+2），則y_P=

6y1

x1+2

，同理y_Q=

6y2

x2+2

，
∵

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，
∴

1

y1

+

1

y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0，
∴（x₁-4）y₂+（x₂-4）y₂=0，∴（x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，
即2kx₁x₂+（m-4k）（x₂+x₁）-8m=0，
∴2k•

2m2-4

2k2+1

+（m-4k）（-

4km

2k2+1

）-8m=0，
∴

-8k-8m

2k2+1

=0，故k=-m，
故直線l方程為y=kx-k，可知該直線過定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，考查直線的方程，以及化簡和整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．