Question

方程f（x）=x的根稱為f（x）的不動點，若函數(shù)f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動點，且x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

（n∈N⁺），則log

1

2

（x₂₀₁₄-1）=（　�。�

• A、2014
• B、2013
• C、1
• D、0

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動點?

x

a(x+2)

=x有唯一實數(shù)根，化為ax²+（2a-1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=

1

2

．f（x）=

2x

x+2

．由于x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

，可得xn+1-1=

1

2

(xn-1)，再利用等比數(shù)列的通項公式與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動點，∴

x

a(x+2)

=x有唯一實數(shù)根，
化為ax²+（2a-1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a-1）²-0=0，解得a=

1

2

．
∴f（x）=

2x

x+2

．
∵且x₁=2，x_n+1=

1

f( 2 xn )

，
∴x_n+1=

2 xn +2

2× 2 xn

=

1

2

xn+

1

2

，
∴xn+1-1=

1

2

(xn-1)，
∴數(shù)列{x_n-1}是等比數(shù)列，
∴xn-1=(2-1)×(

1

2

)n-1，
∴xn-1=(

1

2

)n-1．
∴log

1

2

（x₂₀₁₄-1）=log

1

2

(

1

2

)2013=2013．
故選：B．

點評：本題考查了新定義“不動點”、等比數(shù)列的通項公式與對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等價轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．