Question

將函數f（x）=sin

1

4

x•sin

1

4

（x+2π）•sin

1

2

（x+3π）-

1

2

cos²

π

2

在區(qū)間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2ⁿa_n，數列{b_n}的前n項和T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

考點：數列的求和,運用誘導公式化簡求值,三角函數的最值

專題：等差數列與等比數列,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先對三角關系式進行恒等變換變換成f（x）=-

1

4

sinx，進一步求出函數的導數，利用導數為零求出極值點，進一步求出等差數列的通項公式．
（Ⅱ）根據數列的通項公式，進一步利用乘公比錯位相減法來求數列的和．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=sin

1

4

x•sin

1

4

（x+2π）•sin

1

2

（x+3π）-

1

2

cos²

π

2

=sin

x

4

cos

x

4

（-cos

x

2

）=-

1

4

sinx
則：f′(x)=-

1

4

cosx
令f′(x)=-

1

4

cosx=0解得：x=kπ+

π

2

（k∈Z）
由于x在區(qū)間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}（n∈N^*）．
a1=

π

2

   d=π
an=

(2n-1)

2

π
（Ⅱ）利用上一步的結論：bn=2nan=

π

2

(2n-1)2n
T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=

π

2

[1•21+3•22+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2ⁿ]①
2Tn=

π

2

[1•22+3•23+…+(2n-3)2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹]②
①-②得：-Tn=

π

2

[1•2+2•22+…+2•2n-(2n-1)2ⁿ⁺¹]
=

π

2

[2+

8•(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1]
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
所以：Tn=π[(2n-3)•2n+3]
故答案為：（Ⅰ）an=

(2n-1)

2

π
（Ⅱ）Tn=π[(2n-3)•2n+3]

點評：本題考查的知識要點：三角關系式的恒等變換，三角函數的性質應用，導數在極值中的應用，等差數列的通項公式，乘公比錯位相減法在數列求和中的應用．