Question

已知?jiǎng)訄AP與圓C₁：（x+1）²+y²=

1

8

外切，與圓C₂（x-1）²+y²=

49

8

內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（

1

4

，0），是否存在過點(diǎn)F（1，0）且與x軸不垂直的直線l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，使得

MA

+

MB

⊥

AB

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由兩圓的位置關(guān)系得到|PC1|+|PC2|=2

2

＞|C1C2|=2，由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的橢圓，并求得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距，利用隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，并設(shè)其方程為y=k（x-1），由點(diǎn)差法結(jié)合（

MA

+

MB

）⊥

AB

得到k的值，則直線l的方程可求．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由條件有：

|PC1|= 2 4 +r |PC2|= 7 2 4 -r

，
則|PC1|+|PC2|=2

2

＞|C1C2|=2，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=2

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=1．
則所求軌跡的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點(diǎn)為N（x₀，y₀），
假設(shè)存在這樣的直線l，并設(shè)其方程為y=k（x-1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
又

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，則

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1-y2)(y1+y2)=0．
即x₀+2ky₀=0，①
由（

MA

+

MB

）⊥

AB

，得k•

y0

x0- 1 4

=-1，②
聯(lián)立①②得：x0=

1

2

，又x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+k2

，
∴k=±

2

2

．
∴這樣的直線l存在，其方程為y=±

2

2

(x-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)差法求與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題，是壓軸題．