Question

已知拋物線y=

1

4

x²，過點P（0，2）作直功l，交拋物線于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求證：

OA

•

OB

為定值；
（Ⅱ）求三角形AOB面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線的方程與直線l的方程y=kx+2聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂即可證明；
（2）根據(jù)S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP，表示出面積S_△OAB的解析式，從而求出最小值．

解答： 解：如圖所示，
（1）證明：拋物線方程可化為x²=4y，焦點為F（0，1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l的方程為：y=kx+2；
∴

x2=4y y=kx+2

，
化為x²-4kx-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8；
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-8+4=-4；
（2）由（1）知，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8；
∴S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP
=

1

2

|OP|•|x₁|+

1

2

|OP|•|x₂|
=

1

2

|OP|•|x₂-x₁|
=

1

2

×2

(4k)2-4×(-8)

，
∴當(dāng)k=0時，△OAB面積最小，最小值為4

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交問題，解題時應(yīng)利用方程組聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識，進行解答，是難題．