Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AB=AC=2，AA₁=6，點(diǎn)E、F分別在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求四棱錐B-AEFC的體積；
（2）求△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，所以A₁A⊥底面ABC，所以A₁A⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩A₁A=A，所以AB⊥面AA₁C₁C，則AB為四棱錐B-AEFC的高．
在直角梯形AEFC中，因?yàn)锳E=2，AC=2，CF=4，所以．
所以V_B-AEFC=．
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，4），
，
設(shè)平面BEF的法向量為，則
，則，取z=1，得x=-1，y=1．
所以．
平面ABC的一個(gè)法向量為，
則．
所以△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值為．
分析：（1）由已知條件可判出AB⊥面AA₁C₁C，求出直角梯形AEFC的面積，則四棱錐B-AEFC的體積可求；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC與平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面與△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了椎體體積的求解方法，考查了利用空間向量求二面角的平面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，是中檔題．