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17.已知:tanα、tanβ是方程x2-5x+6=0的兩個實根,α、β∈(0,180°).
(1)求α+β的值.
(2)求cos(α-β)的值.

分析 (1)由韋達定理得tanα+tanβ=5,tanαtanβ=6,由此利用正切加法公式能求出α+β的值.
(2)解方程x2-5x+6=0,得tanα=2,tanβ=3,或tanα=3,tanβ=2,由此利用同角三角函數(shù)及余弦函數(shù)加法定理能求出結(jié)果.

解答 解:(1)∵tanα和tanβ是方程x2-5x+6=0的兩個根,
∴可得tanα+tanβ=5,tanαtanβ=6,
∴tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}=\frac{5}{1-6}=-1.
∵tanα>0,tanβ>0,α、β∈(0°,180°),可得:α,β∈(0°,90°),α+β∈(0°,180°),
∴α+β=135°.
(2)解方程x2-5x+6=0,得x1=2,x2=3,
∴tanα=2,tanβ=3,或tanα=3,tanβ=2,
當tanα=2,tanβ=3時,α,β都是第1象限角,
sinα=\frac{2\sqrt{5}}{5},cosα=\frac{\sqrt{5}}{5},sinβ=\frac{3\sqrt{10}}{10},cosβ=\frac{\sqrt{10}}{10},
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}
當tanα=3,tanβ=2時,α,β都是第1象限角,
sinβ=\frac{2\sqrt{5}}{5},cosβ=\frac{\sqrt{5}}{5},sinα=\frac{3\sqrt{10}}{10},cosα=\frac{\sqrt{10}}{10},
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}
∴cos(α-β)=\frac{7\sqrt{2}}{10}

點評 本題考查兩角和的求法,考查余弦函數(shù)的求法,解題時要認真審題,注意正切加法定理和余弦加法定理的合理運用,屬于中檔題.

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