Question

【題目】已知 Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=2an+n﹣4．
（1）求a1的值；
（2）若bn=an﹣1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明： + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an+n﹣4，

∴a1=S1=2a1+1﹣4，即a1=3

（2）證明：∵Sn=2an+n﹣4，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5，

兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1，

變形，得：an﹣1=2（an﹣1﹣1），

由（1）可知b1=a1﹣1=2，

故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列

（3）證明：由（2）可知an=2n+1，

∵ = ＜ ，

∴ + +…+ ＜ + +…+ = ＜1

【解析】（1）直接令n=1代入計(jì)算即可；（2）通過(guò)Sn=2an+n﹣4與Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5作差、變形可知an=2an﹣1，進(jìn)而整理即得結(jié)論；（3）通過(guò)（2）放縮可知 ＜ ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比關(guān)系的確定(等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷)．