Question

已知f(x)=sinx+

3

cosx+2，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．
（3）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式前兩項(xiàng)提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）由化簡(jiǎn)后的解析式找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由正弦函數(shù)的值域[-1，1]，得到正弦函數(shù)的最大值為1，進(jìn)而確定出函數(shù)的最大值；并讓正弦函數(shù)中的角等于2kπ+

π

2

，求出x的值，即為函數(shù)取得最大值時(shí)x的值；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸為x=kπ+

π

2

，對(duì)稱中心為（kπ，2），分別列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心．

解答：（本小題滿分12分）
解：f(x)=sinx+

3

cosx+2=2sin(x+

π

3

)+2，
（1）∵ω=1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是T=

2π

1

=2π；
（2）當(dāng)sin（x+

π

3

）=1時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為4，
此時(shí)x+

π

3

=

π

2

+2kπ，即x=2kπ+

π

6

（k∈Z）；
（3）令x+

π

3

=kπ+

π

2

，解得：x=kπ+

π

6

，
令x+

π

3

=kπ，解得：x=kπ-

π

3

，
則f（x）的對(duì)稱軸為x=kπ+

π

6

（k∈Z），對(duì)稱中心為(kπ-

π

3

，2)（k∈Z）．
評(píng)分說(shuō)明：此處對(duì)稱軸一定要寫成x=kπ+

π

6

（k∈Z）的形式；
對(duì)稱中心學(xué)生容易寫成(kπ-

π

3

，0)，一律零分；
另外，k∈Z沒(méi)寫，一個(gè)扣（1分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，其中利用三角形函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．