Question

【題目】已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), =2.71828…).

(1)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作曲線的切線，求的方程；

(2)當(dāng)時(shí),求證;

(3)求證:對(duì)任意正整數(shù),都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）0≤a≤1（3）見解析

【解析】

（1）將 代入，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，再結(jié)合切線過點(diǎn)，即可求得切線方程；

（2）只要求出函數(shù)的最小值，證明函數(shù)的最小值大于等于0即可；
（3）由函數(shù)的最小值，構(gòu)造不等式，令，得出關(guān)于正整數(shù)n的不等式 ，運(yùn)用累加法即可證明．

（1）∵當(dāng)時(shí)， ，則，
設(shè)切點(diǎn) ， ，
由點(diǎn)斜式，可得切線方程為

又切線過點(diǎn)，則， ，
∴切線方程為；；

(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a

①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex≥0恒成立,滿足條件,

②當(dāng)0<a≤1時(shí),由f′(x)=0,得x=ln a,

則當(dāng)x∈(-∞,ln a)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(ln a,+∞)時(shí),f′(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)在x=ln a處取得極小值即為最小值,

f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a.

因?yàn)?<a≤1,所以ln a≤0,所以-aln a≥0,

所以f(x)min≥0,

所以綜上得,當(dāng)0≤a≤1時(shí),f(x)≥0;

(3)證明:由(2)知,當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥0恒成立,

所以f(x)=ex-x-1≥0恒成立,

即ex≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令,

得,

所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1,

所以(1+)(1+)…(1+)<e.