Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

1

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知遞推式，利用累加求和及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出；
（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法，得到T_n=1•

1

2

+2•

1

4

+3•

1

8

+…+（n-1）•

1

2n-1

+n•

1

2n

，①，

1

2

T_n=1•

1

4

+2•

1

8

+3•

1

16

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，②，①-②，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到．

解答： 解：（1）由a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

1

2n+1

，即有a_n-a_n-1=-

1

2n

，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

+（-

1

4

）+（-

1

8

）+…+（-

1

2n

）
=1-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2n

；
（2）b_n=na_n=n•

1

2n

，
T_n=1•

1

2

+2•

1

4

+3•

1

8

+…+（n-1）•

1

2n-1

+n•

1

2n

，①

1

2

T_n=1•

1

4

+2•

1

8

+3•

1

16

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，②
①-②得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•

1

2n+1

則T_n=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和的求法，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)和錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．